Voici une liste (non-exhaustive) de sujets possibles pour ceux qui veulent faire une présentation orale (pour un point d'excellence en fin de trimestre). ### Démonstrations (trimestre 1) #### La somme des $\binom{n}{k}$ pour $k$ entre $0$ et $n$ est égale à $2^n$. - Idée de la preuve : - $\binom{n}{k}$ représente le nombre de sous-ensemble à $k$ éléments dans un ensemble de $n$ éléments. - La somme des $\binom{n}{k}$ représente donc *la somme totale du nombre de sous-ensembles possibles* dans un ensemble de $n$ éléments. - Pour compter le nombre total de sous-ensembles possibles dans un ensemble à $n$ éléments, il suffit de considérer que pour former un sous-ensemble il s'agit de choisir d'y mettre, ou non, chaque élément. - Pour chaque sous-ensemble, on le considère ainsi : pour chaque éléments (il y en a $n$), il y a deux choix : ou bien on l'inclut dans le sous-ensemble, ou bien non. - Autrement dit : chaque sous-ensemble est associé à un $n-$uplet de $1$ et de $0$ selon si l'élément est inclu ou non. - Le nombre total de possibilités est donc $2\times 2\times ...\times 2= 2^n$ #### Les limites de $q^n$ selon les valeurs de $q$ - Idée de la preuve : - Si $q=1$ ou si $q=0$ c'est évident. - Si $q=-1$ il n'y a pas de limite car selon les puissances paires et impaires, cela oscille entre $-1$ et 1. - *Si $q>1$ alors on va utiliser (en la démontrant) l'inégalité de Bernoulli. (cf. l'exercice corrigé)* - Si $0<q<1$ alors on peut écrire que $q=\frac{1}{Q}$ avec un $Q>1$. Donc $q^n=\frac{1}{Q^n}$ et on sera alors sur une forme $\frac{1}{+\infty}$ qui tend bien vers $0$. - Si $-1<q<0$ alors en considérant la valeur absolue $|q|$, on revient au cas où $0<|q|<1$ et on a donc $|q|^n=|q^n|$ qui tend vers $0$. Si $|q^n|$ tend vers $0$, alors $q^n$ tend aussi vers $0$. - Si $q<-1$ alors $|q|>1$ et la valeur absolue de $q$ est égale à $q$ ou $-q$. Or la limite de $|q^n|$ sera alors $+\infty$, mais la puissance de $-1$ oscillera à l'infini, donc pas de limite. #### Les limites de l'exponentielle en $+\infty$ et $-\infty$ - Idée de la preuve : - En $+\infty$ : il s'agit de montrer que l'exponentielle est une fonction croissante non-bornée, donc qui diverge vers $+\infty$. - En $-\infty$ : la méthode consiste à poser $x=-X$ avec $X$ qui tend vers $+\infty$ (ce qui veut bien dire que $x$ tend vers $-\infty$). On a alors $e^x=e^{-X}=\frac{1}{e^X}$ - Mais puisque $X$ tend vers $+\infty$, $e^X$ tend aussi vers $+\infty$ et $e^x$ est donc équivalent à une forme $\frac{1}{+\infty}$ qui tend vers $0$. ### Démonstrations (trimestre 2) *à venir* ### Démonstrations (trimestre 3) *à venir* ### Autres présentations possible - Présenter la carte mentale d'un nouveau chapitre (avant que le professeur ne l'aie présentée). - Faire une présentation (courte biographie et surtout contribution importante à l'histoire des mathématiques) sur un.e mathématicien.ne en lien avec le programme . - Exemples : - Le raisonnement par récurrence et le dénombrement avec Blaise Pascal - Les probabilités avec Jacques et Nicolas Bernoulli - La trigonométrie avec Ghiyath ad-Din Jamshid Mas 'ud al-Kashi (connu sous le nom simplement d'Al-Kashi) - La notion de limite avec Augustin Louis Cauchy (mais aussi Newton et Leibniz).